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Irrational und transzendent

Die bewiesenen Eigenschaften von Pi

Was ist das Besondere an Pi? Und warum gibt sie den Mathematikern noch immer Rätsel auf? Letztlich sind es vor allem drei Eigenschaften, die die Kreiszahl auszeichnen. Zwei davon sind heute mathematisch bewiesen und damit gesichert.

Pi hat unendlich viele Nachkommastellen © SXC

Pi ist irrational

Eine Eigenheit der Kreiszahl ist ihre Irrationalität. Das bedeutet, dass Pi, im Gegensatz zu den meisten Dezimalzahlen, nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist. Als Konsequenz hören ihre Dezimalstellen nicht irgendwann auf, sondern setzen sich bis ins Unendliche fort. Dass es überhaupt solche Zahlen gibt, entdeckten schon die alten Griechen. Der Legende nach soll der Mathematiker Hippasos von Metapont sogar für diese Entdeckung gestorben sein: Nachdem er festgestellt hatte, dass die Wurzel aus zwei irrational ist, kam es zum Zerwürfnis mit seinem Lehrer Pythagoras. Als er später im Meer ertrank, galt dies als göttliche Strafe für seinen „Frevel“.

Ob es nun stimmt oder nicht – gegen die Erkenntnis, dass es diese seltsamen, unendlich andauernden Zahlen gibt, half das jedenfalls nichts. Euklid veröffentlichte im 4. Jahrhundert vor Christus den Beweis der Irrationalität von Wurzel aus zwei in seinen „Elementen“, dem bis ins 19. Jahrhundert hinein bekanntesten Lehrbuch der Mathematik. Die Kreiszahl Pi allerdings musste noch bis zum Jahr 1761 warten, bis auch ihre Irrationalität von Johann Heinrich Lambert belegt wurde.

Pi: nicht esoterisch, aber transzendent © SXC

Pi ist transzendent

Auch wenn es so klingt: Transzendenz bedeutet hier nicht, dass Pi in irgendeiner Form esoterisch oder spirituell angehaucht sein könnte. Wenn Mathematiker von Transzendenz sprechen, meinen sie Zahlen, die nicht durch bestimmte algebraische Gleichungen beschreibbar sind. Oder, wie es der Mathematiker Leonhard Euler 1748 in seinem Lehrbuch formulierte: „Sie überschreiten […] die Wirksamkeit algebraischer Methoden.“

Mathematisch konkreter gesagt: Es gibt kein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das Pi als Nullstelle hat. Salopp übersetzt heißt das im Prinzip nichts anderes als dass eine „Quadratur des Kreises“ unmöglich ist. Bei diesem klassischen Problem der Geometrie geht es darum, dass auf einem gegeben Kreis ein Quadrat mit genau demselben Flächeninhalt konstruiert werden soll. An dieser Aufgabe versuchten sich seit der Antike immer wieder Mathematiker, aber auch Philosophen und andere mathematische Laien – alle vergeblich. Denn mit Lineal und Zirkel ist eine Lösung dieser auf den ersten Blick so einfach erscheinenden Aufgabe nicht möglich, wie der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann 1882 bewies.

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Nadja Podbregar
Stand: 14.03.2014

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In den Schlagzeilen

Inhalt des Dossiers

Die wunderbare Welt des Pi
Geheimnisvolle Eigenheiten einer allgegenwärtigen Zahl

Überblick
Das Wichtigste in Kürze

Es geht nicht ohne…
Pi - die allgegenwärtige Naturkonstante

Irrational und transzendent
Die bewiesenen Eigenschaften von Pi

Wie normal ist Pi?
Rätsel um die dritte Eigenschaft der Kreiszahl

Wie viel Pi braucht der Mensch?
Auf der Jagd nach den Nachkommastellen

Vom 96-Eck zum Computerprogramm
Die Geschichte der Pi-Berechnung

Pi ist Kult
Von Pi-Clubs, Pi-Gedichten und anderen Kuriositäten

24 Stunden lang Pi
Wettstreit der Pi-Gedächtniskünstler

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