Konformale Abbildung jetzt auch für komplexere Strukturen einsetzbar 140 Jahre altes Matheproblem gelöst - scinexx | Das Wissensmagazin
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Konformale Abbildung jetzt auch für komplexere Strukturen einsetzbar

140 Jahre altes Matheproblem gelöst

Visualisierung einer konformalen Abbildung einer Gleichung © NSF

Ob Luftströmungen über einer Tragfläche oder die Kartierung von Nervenverbindungen im Gehirn – um komplexe Strukturen analysieren zu können, nutzen Mathematiker die Methode der konformalen Abbildung. Sie konnte bisher aber nur bei bestimmten Formen angewendet werden – bis jetzt. Nach 140 Jahren hat ein Mathematiker nun diese Einschränkungen aufgehoben.

Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelten zwei Mathematiker eine Formel, mit der komplexe Strukturen auf einfachere, leichter zu analysierende Formen herunter gebrochen werden können. Diese so genannte Schwarz-Christoffel-Formel ist die Grundlage für ein wichtiges theoretisches Schlüsselwerkzeug, die konformale Abbildung, das von Mathematikern, Ingenieuren und Naturwissenschaftlern genutzt wird. Die Anwendungen reichen dabei von der Modellierung von Luftströmungen über Tragflächen bis zur Modellierung der komplizierten Struktur der Nervenverbindungen im menschlichen Gehirn.

Doch seit 140 Jahren hat diese Formel einen Haken: Sie funktioniert nur bei Strukturen, die keine Löcher oder Unregelmäßigkeiten enthalten. Jetzt aber gelang es Darren Crowdy, Professor für Angewandte Mathematik am Imperial College London, die Formel so zu ergänzen, dass sie nun auch für bisher davon ausgeschlossenen Strukturen angewendet werden kann.

„Diese Formel ist ein essenzieller Bestandteil unserer mathematischen Werkzeugkiste”, erklärt Crowdy. „Jetzt, mit den Ergänzungen, können wir es für weitaus komplexere Szenarien einsetzen als zuvor. In der Industrie war dieses Abbildungsverfahren bisher ungeeignet, wenn ein Metallstück oder anderes Material nicht gleichförmig war, wenn es beispielsweise Löcher enthielt oder aus mehreren Materialein zusammengesetzt war.“

Crowdy hat diese Einschränkungen nun überwunden und hofft, dass sich daraus viele neue Anwendungsmöglichkeiten ergeben. „Mit meinen Ergänzungen kann man die Unterschiede mit einbeziehen und sie für die Analyse auf eine einfache Scheibenform herunterrechnen, wie man es bisher mit komplexen Formen ohne Löcher bereits konnte“, so der Mathematiker.

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(Imperial College London, 05.03.2008 – NPO)

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