Neue Erkenntnisse im Grenzgebiet von Topologie und algebraischer Geometrie Forscher löst altes Matheproblem - scinexx | Das Wissensmagazin
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Neue Erkenntnisse im Grenzgebiet von Topologie und algebraischer Geometrie

Forscher löst altes Matheproblem

Im Grenzgebiet zwischen zwei mathematischen Fachgebeiten, der Topologie und der algebraischen Geometrie, widersetzte sich ein von dem Mathematiker Friedrich Hirzebruch formuliertes Problem seit mehr als 50 Jahren allen Lösungsversuchen. Es geht dabei um die Beziehungen verschiedener mathematischer Strukturen zueinander. Einem Münchener Forscher ist hier nun ein Durchbruch gelungen: Er konnte das Hirzebruchsche Problem lösen, berichtet die Fachzeitschrift „Proceedings of the National Academy of Sciences“ (PNAS) jetzt in ihrer Online-Ausgabe.

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Die Topologie behandelt flexible geometrische Eigenschaften von Objekten, die sich bei Verformungen nicht verändern. In der algebraischen Geometrie werden manche dieser geometrischen Objekte mit Hilfe von Gleichungen beschrieben und erhalten dadurch eine starre Zusatzstruktur. Bei dem Hirzebruchschen Problem geht es um die Beziehungen zwischen starren und flexiblen Eigenschaften.

Zusammengedrückter Ball als Kugel?

Selbst ein zusammengedrückter Ball ist, topologisch betrachtet, noch immer eine Kugeloberfläche. In der Topologie kommt es auf die geometrische Form nicht an. Anders ist es in der algebraischen Geometrie. Dort werden geometrische Objekte wie Kugeloberflächen durch sogenannte polynomiale Gleichungen beschrieben. Im Grenzgebiet der beiden mathematischen Fachgebiete Topologie und der algebraische Geometrie ist Professor Dieter Kotschick von der Universität München nun einen entscheidenden Schritt weiter gekommen.

„Ich habe ein Problem lösen können, das vor mehr als 50 Jahren von dem berühmten deutschen Mathematiker Friedrich Hirzebruch formuliert worden war“, sagt der Mathematiker. „Das Hirzebruchsche Problem behandelt die Beziehungen verschiedener mathematischer Strukturen zueinander. Das sind zum einen so genannte algebraische Varietäten, also die Nullstellen-Gebilde von Polynomen. Zum anderen sind es gewisse geometrische Objekte, die als Mannigfaltigkeiten bezeichnet werden.“ Mannigfaltigkeiten sind spezielle topologische Räume, die glatt sind und in jeder Dimension betrachtet werden können – analog zur zwei-dimensionalen Kugeloberfläche.

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Zahlen topologisch invariant

In der Sprache der Mathematik lassen sich das Hirzebruchsche Problem und seine Lösung so beschreiben: Fraglich ist, welche Chernschen Zahlen topologische Invarianten von komplex-algebraischen Varietäten sind. „Ich habe nun bewiesen, dass – von den offensichtlichen abgesehen – überhaupt keine Chernschen Zahlen topologisch invariant sind“, berichtet Kotschick. „Diese Zahlen hängen damit tatsächlich von der algebraischen Struktur der Varietäten ab und sind nicht durch gröbere, sogenannte topologische Eigenschaften festgelegt. Anders gesagt: Die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit einer algebraischen Varietät bestimmt diese Invarianten nicht.“

(idw – Universität München, 15.06.2009 – DLO)

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