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Montag, 15.10.2018
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Das ist die größte bekannte Primzahl

Neue Mersenne-Primzahl hat mehr als 23 Millionen Stellen

Mathematischer Rekord: Ein amerikanischer Hobby-Primzahlenjäger hat an Weihnachten die bisher größte bekannte Primzahl identifiziert. Es handelt sich um eine Zahl mit mehr als 23 Millionen Stellen. Diese Zahl ist wie alle Primzahlen nur durch Eins und sich selbst teilbar. Zudem aber gehört sie zu einem besonders seltenen Typ von Primzahlen, den Mersenne-Zahlen. Diese folgen einer ganz bestimmten Formel und stehen mit den vollkommmenen Zahlen in engem Zusammenhang.
Dies ist die größte bisher bekannte Primzahl - eine Zahl mit mehr als 23 Millionen Stellen.

Dies ist die größte bisher bekannte Primzahl - eine Zahl mit mehr als 23 Millionen Stellen.

Primzahlen sind in der Mathematik alle Zahlen, die nur durch Eins und sich selbst teilbar sind. Die kleinsten Beispiele dafür sind 2, 3, 5, 7, 11, doch es gibt auch Primzahlen mit Millionen von Stellen. Dieses Phänomen fasziniert Mathematiker schon seit Jahrhunderten und führt bis heute dazu, dass Menschen in aller Welt nach immer größeren, noch unbekannten Primzahlen suchen. In der Kryptografie werden Primzahlen zudem dafür genutzt, um Daten zu verschlüsseln.

23 Millionen Stellen und sechs Tage Rechenzeit


Jetzt hat der Hobby-Primzahljäger Jonathan Pace aus dem US-Bundesstaat Tennessee die bisher größte bekannte Primzahl identifiziert. Dies gelang ihm mithilfe einer Software im Rahmen des Citizen-Science-Projekts "Great Internet Mersenne Prime Search" (GIMPS). Sein Computer benötigte sechs Tage ununterbrochener Rechenzeit, um den Primzahlen-Nachweis zu schaffen. Am 26. Dezember 29017 war es dann soweit.

Bei der neu identifizierten Primzahl handelt es sich um 277232917-1, eine Zahl mit 23.249.425 Stellen. Sie ist damit rund eine Million Stellen länger als der bisherige Primzahl-Rekordhalter, der im Jahr 2015 nachgewiesen wurde. Um sicherzugehen, dass Paces Rechner bei ihrer Kalkulation keine Fehler gemacht hat, wurde das Ergebnis von vier weiteren GIMPS-Mitgliedern auf Rechner jeweils unterschiedlichen Hardware-Konfigurationen überprüft.


Erst die 50. Mersenne-Primzahl


Doch die neue Rekord-Primzahl hat noch eine Besonderheit: Sie gehört zu den seltenen Mersenne-Primzahlen. Sie sind nach dem französischen Mönch Marin Mersenne benannt, der das Prinzip hinter diesen Zahlen vor rund 350 Jahren formulierte. Wie er herausfand, lassen sich die Mersenne-Primzahlen durch die Formel 2P-1 beschreiben. P steht dabei ebenfalls für eine Primzahl.

Mersenne-Primzahlen sind damit das Produkt zweier Primzahlen, von dem eins abgezogen wird. So gehört die Zahl 7 dazu, weil sie sich als 23-1 beschreiben lässt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen sind 3, 7, 31, 127, 8.191, 131.071, 524.287, 2.147.483.647. Die jetzt von Pace entdeckte Rekord-Primzahl ist jedoch erst die 50. bekannte Mersenne-Primzahl überhaupt. Der Theorie nach könnte es unendlich von diesen Zahlen geben, bewiesen ist das aber bisher nicht.

Der griechische Gelehrte Euklid erkannte bereits den Zusammenhang zwischen Primzahlen und vollkommenenen Zahlen.

Der griechische Gelehrte Euklid erkannte bereits den Zusammenhang zwischen Primzahlen und vollkommenenen Zahlen.

Eng verwandt mit den "vollkommenen Zahlen"


Mathematisch spannend sind Mersenne-Primzahlen auch deshalb, weil schon der griechische Mathematiker Euklid ihr enges Verhältnis zu den sogenannten vollkommenen Zahlen nachgewiesen hat. Diese sind dadurch definiert, dass sie aus der Summe aller ihrer Teiler bestehen. So ist 6 "vollkommen", weil 6 = 1+2+3.


Euklid erkannte, dass seine für diese Zahlen entwickelte Formel immer dann eine vollkommene Zahl ergibt, wenn darin an entscheidender Stelle eine Primzahl auftaucht. Mitte des 18. Jahrhunderts bewies dann der Mathematiker Leonard Euler, dass alle geraden vollkommenen Zahlen von Mersenne-Primzahlen abgeleitet sind. Die neue Rekord-Primzahl ist damit mathematisch ziemlich spannend und trägt zudem dazu bei, die Verteilung der Primzahlen im Zahlenraum weiter auszuloten.

Praktische Anwendungen haben diese Riesenzahlen allerdings eher nicht. "Es gibt nichts Konkretes, das man mit diesen Mega-Primzahlen machen kann", erklärt Ian Bethune von der Primzahlen-Website PrimeGrid im "New Scientist". "Stattdessen geht es eher darum, einfach etwas volllkommen Neues zu finden."
(GIMPS-Projekt, New Scientist, 08.01.2018 - NPO)
 
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